Modélisation géométrique et algébrique d'une situation par une fonction — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Modéliser géométriquement consiste à exprimer une aire ou un périmètre en fonction d'une longueur variable x. • La variable x est toujours contrainte par le contexte : les longueurs doivent rester positives. • La formule obtenue permet de calculer l'image d'une valeur et de rechercher la configuration optimale.

Le cours

1. Choisir la variable et déterminer son intervalle de validité Modéliser une situation géométrique par une fonction consiste à exprimer une grandeur dépendante (aire, périmètre, volume, longueur) à l'aide d'une formule algébrique dépendant d'une longueur variable notée x. Variable x Contraintes de la figure Intervalle de définition Dans un problème géométrique concret, la variable x ne peut pas prendre n'importe quelle valeur : une longueur doit toujours être strictement positive et ne peut pas dépasser les dimensions totales de la figure de départ. 2. Exprimer la grandeur sous forme d'une fonction f(x) À partir des formules usuelles d'aires et de périmètres (rectangle, triangle, disque), on remplace les dimensions connues et inconnues pour obtenir la fonction : Rectangle de périmètre fixe 24 cm : demi-périmètre = 12 cm. Si la largeur est x, alors la longueur vaut 12 - x. Aire du rectangle : A(x) = x (12 - x) = 12x - x^2 La fonction obtenue A(x) permet d'étudier comment l'aire varie lorsque l'on modifie la forme du rectangle. 3. Exploiter la fonction pour résoudre le problème Une fois la formule établie, on peut répondre aux questions du problème : calculer l'aire pour des valeurs particulières, rechercher par le calcul ou par encadrement les dimensions nécessaires pour atteindre une aire cible, ou identifier la dimension qui rend l'aire maximale.

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