Expériences aléatoires à deux épreuves et arbres des possibles de 4ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Une expérience à deux épreuves combine deux étapes successives indépendantes ou liées. • Le nombre total d'issues de l'expérience globale est le produit p q des issues de chaque épreuve. • L'arbre des possibles permet d'énumérer rigoureusement tous les chemins du départ jusqu'aux extrémités terminales sans omission ni doublon.

Le cours

1. Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire à deux épreuves ? Une expérience aléatoire est dite à deux épreuves lorsqu'elle est composée de deux étapes successives ou simultanées dont les issues dépendent du hasard. Par exemple, lancer une pièce de monnaie puis tirer une boule dans un sac, ou lancer deux dés l'un après l'autre. Chaque issue finale est un couple ordonné : ( résultat de l'épreuve 1 \,;\, résultat de l'épreuve 2 ). Si la première épreuve offre p issues possibles et la seconde épreuve offre q issues possibles, le nombre total d'issues distinctes pour l'expérience globale est donné par le produit p q. 2. Construire et lire un arbre des possibles L'arbre des possibles est un schéma arborescent qui permet de visualiser méthodiquement toutes les issues sans en oublier : • Niveau 1 : on trace les branches issues du point de départ pour chaque résultat possible de la première épreuve. • Niveau 2 : au bout de chaque première branche, on ouvre autant de nouvelles branches qu'il y a d'issues pour la seconde épreuve. • Chaque chemin partant de la racine et arrivant à une extrémité finale représente une issue complète de l'expérience. Dans un arbre des possibles de 4ème, les branches ne portent pas encore de probabilités : on dénombre les chemins pour lister l'univers des résultats possibles. 3. Attention à l'ordre des tirages Dans une expérience à deux épreuves successives, le couple (Pile\,;\,Face) est une issue différente du couple (Face\,;\,Pile). Ne confondez pas la liste brute des résultats ordonnés avec des combinaisons non ordonnées.

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