Calcul de probabilités par la règle du produit et la règle de la somme

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Le long d'un chemin, on multiplie : P(chemin) = p_1 p_2. • Entre plusieurs chemins favorables, on additionne. • « Un de chaque » correspond à deux chemins : (A ; B) et (B ; A). • Un produit de probabilités ne dépasse aucun de ses facteurs.

Le cours

Calculer avec un arbre Une fois l'arbre construit, deux règles suffisent pour calculer la probabilité de n'importe quel événement d'une expérience à deux épreuves. Toutes deux reviennent à compter des issues de même chance. Les deux règles Règle du produit : la probabilité d'une issue, c'est-à-dire d'un chemin, est le produit des probabilités des branches de ce chemin. Règle de la somme : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent. Deux chemins différents sont deux issues différentes : elles sont incompatibles, on peut donc additionner. P(chemin) = p_1 p_2 D'où vient le produit ? On fait tourner une roue de 4 secteurs égaux, dont 1 jaune, puis une roue de 5 secteurs égaux, dont 2 verts. En distinguant les secteurs, il y a 4 5 = 20 couples de même chance, et 1 2 = 2 couples « jaune, puis vert » : P(J ; V) = 1 2/4 5 = 1/4 2/5 = 1/10 Multiplier les fractions revient donc à compter les couples favorables parmi tous les couples. On peut aussi raisonner sur un grand nombre de parties : sur 2\,000 parties, on s'attend à environ 500 « jaune » au premier tour, et, parmi elles, à environ 200 « vert » au second, soit 200/2\,000 = 1/10. Méthode 1. Lister les chemins qui réalisent l'événement ; « un de chaque » correspond à deux chemins, un pour chaque ordre. 2. Multiplier les probabilités le long de chacun de ces chemins. 3. Additionner les résultats obtenus. 4. Si les chemins favorables sont nombreux, passer par le contraire : P(E) = 1 - P(E). Attention On n'additionne jamais le long d'un chemin. Dans l'exemple des roues, 1/4 + 2/5 = 13/20 dépasserait la probabilité d'obtenir jaune au premier tour (1/4) : c'est absurde, puisque « jaune, puis vert » est plus exigeant que « jaune ». Un produit de probabilités ne dépasse jamais aucun de ses facteurs.

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