Tableaux à double entrée pour dénombrer des issues et calculer des probabilités

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Le tableau à double entrée associe les issues de la 1re épreuve en lignes et celles de la 2de épreuve en colonnes. • Nombre total d'issues équiprobables : produit du nombre de lignes par le nombre de colonnes (L C). • Probabilité d'un événement : quotient du nombre de cases favorables par le nombre total de cases. • En cas de tirage sans remise dans une même réserve, les cases diagonales identiques sont exclues.

Le cours

1. Pourquoi utiliser un tableau à double entrée ? Lorsqu'une expérience aléatoire comporte deux épreuves successives ou simultanées avec un nombre modéré d'issues (par exemple deux dés à 6 faces, ou deux roues), l'arbre pondéré peut devenir très encombrant avec ses multiples branches. Le tableau à double entrée est alors l'outil de représentation le plus clair et le plus efficace. Une entrée en ligne pour la 1re épreuve, une entrée en colonne pour la 2de épreuve. Chaque case intérieure représente une issue conjointe de l'expérience globale. Si la première épreuve compte L issues et la seconde compte C issues, le tableau contient exactement L C cases élémentaires. 2. Calculer des probabilités à partir du tableau Dans le cas où toutes les cases du tableau sont équiprobables, le calcul d'une probabilité devient un simple dénombrement méthodique : • On calcule le nombre total de cases : N_total = L C. • On remplit chaque case avec la grandeur étudiée (somme, produit, différence, gain). • On compte le nombre de cases favorables N_favorables répondant à la condition. • La probabilité de l'événement est : P = N_favorablesN_total. Cette méthode évite toute omission et met immédiatement en évidence les symétries de la situation. 3. Attention aux conditions de tirage Si les deux tirages s'effectuent sans remise à partir d'un ensemble commun (par exemple deux jetons tirés d'un même sac), les cases situées sur la diagonale principale (issues du type (1\,;\,1), (2\,;\,2)) sont physiquement impossibles : il faut impérativement les barrer et les retirer du décompte total des issues.

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités et calculs d'équiprobabilité de 4ème
• Fréquence d'une valeur : fraction, écriture décimale et pourcentage de 5ème
• Expériences aléatoires à deux épreuves et arbres des possibles de 4ème
• Événements certains, impossibles, incompatibles et contraire P(non A) = 1 - P(A)
• Expériences à deux épreuves : utilisation rigoureuse des arbres pondérés
• Calcul de probabilités par la règle du produit et la règle de la somme
• Situations concrètes : tirages avec remise et sans remise
• Problèmes de probabilités complexes contextualisés de type Brevet
• Stabilisation des fréquences et notion de probabilité théorique
• Probabilité d'une réunion d'événements : formule P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B)
• Tableaux à double entrée pour dénombrer des issues et calculer des probabilités
• Simulation numérique d'une expérience aléatoire avec un tableur ou Scratch
• Expériences aléatoires avec issues non équiprobables et roues fractionnées
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités au Brevet