Simulation numérique d'une expérience aléatoire avec un tableur ou Scratch

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Une simulation numérique reproduit le comportement d'une expérience aléatoire par le calcul informatique. • Dans Scratch : bloc `nombre aléatoire entre 1 et N`, boucle de répétition et variable compteur. • Dans un tableur : fonction `=ALEA.ENTRE.BORNES(min; max)` et comptage par `=NB.SI(plage; critère)`. • La fréquence observée sur un très grand nombre d'itérations simulées fournit une excellente estimation de la probabilité.

Le cours

1. Pourquoi simuler une expérience aléatoire ? Réaliser manuellement des milliers de lancers de dés ou de tirages avec remise est fastidieux et prendrait des dizaines d'heures. L'informatique permet de simuler ces expériences en une fraction de seconde grâce à des générateurs de nombres pseudo-aléatoires. Simuler une expérience, c'est choisir un modèle mathématique abstrait qui reproduit fidèlement les probabilités de la situation réelle sans manipuler physiquement les objets. Cette démarche permet d'observer concrètement la stabilisation des fréquences et d'estimer avec précision la probabilité d'événements complexes dont le calcul direct est difficile. 2. Outils de simulation : Scratch et tableur Deux environnements sont principalement employés au cycle 4 pour programmer des simulations : • Scratch : on utilise le bloc nombre aléatoire entre 1 et N. Pour simuler une pièce, on tire un entier entre 1 et 2. Une boucle répéter 1000 fois avec une variable compteur incrémentée à chaque succès permet de compter les issues favorables, puis de calculer la fréquence f = compteur / 1000. • Tableur : la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) simule le lancer d'un dé cubique. On étire cette formule sur 1\,000 lignes, puis on compte les apparitions avec =NB.SI(A1:A1000; 6) avant de diviser par 1\,000. En recalculant la feuille (touche F9 ou modification d'une cellule), une nouvelle série de 1\,000 simulations est générée instantanément, illustrant la fluctuation d'échantillonnage. 3. Modélisation correcte des conditions Pour simuler un événement de probabilité donnée, les intervalles d'entiers doivent être rigoureusement dimensionnés. Par exemple, pour simuler un événement de probabilité P = 0,3, on peut tirer un nombre aléatoire entre 1 et 10 et considérer comme succès les issues \1\,;\,2\,;\,3\ (car 3 issues sur 10 représentent une probabilité de 0,3).

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités et calculs d'équiprobabilité de 4ème
• Fréquence d'une valeur : fraction, écriture décimale et pourcentage de 5ème
• Expériences aléatoires à deux épreuves et arbres des possibles de 4ème
• Événements certains, impossibles, incompatibles et contraire P(non A) = 1 - P(A)
• Expériences à deux épreuves : utilisation rigoureuse des arbres pondérés
• Calcul de probabilités par la règle du produit et la règle de la somme
• Situations concrètes : tirages avec remise et sans remise
• Problèmes de probabilités complexes contextualisés de type Brevet
• Stabilisation des fréquences et notion de probabilité théorique
• Probabilité d'une réunion d'événements : formule P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B)
• Tableaux à double entrée pour dénombrer des issues et calculer des probabilités
• Simulation numérique d'une expérience aléatoire avec un tableur ou Scratch
• Expériences aléatoires avec issues non équiprobables et roues fractionnées
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités au Brevet