Expériences à deux épreuves : utilisation rigoureuse des arbres pondérés

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Un chemin de la racine à une extrémité représente une issue de l'expérience. • Loi des nœuds : les branches issues d'un même nœud ont pour somme 1. • Les probabilités du second niveau se lisent dans la situation obtenue après la 1re épreuve. • La somme des probabilités de tous les chemins vaut 1.

Le cours

À quoi sert l'arbre ? Un arbre pondéré organise une expérience à deux épreuves : il montre toutes les issues et porte, sur chaque branche, la probabilité du résultat correspondant. En 3ème, il devient indispensable quand les issues n'ont plus toutes la même probabilité ou quand la seconde épreuve dépend du résultat de la première. Construire l'arbre Le point de départ est la racine. Le premier niveau de branches donne les résultats de la 1re épreuve ; de chaque extrémité (un nœud) part le second niveau, avec les résultats de la 2de épreuve. Chaque chemin complet, de la racine à une extrémité, représente une issue de l'expérience. Sur chaque branche, on écrit la probabilité du résultat, lue dans la situation au moment de cette épreuve. Loi des nœuds : les probabilités des branches issues d'un même nœud ont pour somme 1. Exemple : une pièce, puis une urne On lance une pièce équilibrée. Sur Pile (P), on tire une boule dans l'urne U_1, qui contient 3 boules rouges et 1 noire ; sur Face (F), on tire dans l'urne U_2, qui contient 1 boule rouge et 3 noires. Les branches du second niveau ne portent pas les mêmes probabilités après P et après F. PF1/21/2R3/4(P ; R) : 3/8N1/4(P ; N) : 1/8R1/4(F ; R) : 1/8N3/4(F ; N) : 3/8 Pourquoi 3/8 pour (P ; R) ? En numérotant les boules, il y a 2 4 = 8 couples (pièce ; boule) de même chance, dont 3 donnent Pile et une boule rouge : 3/8 = 1/2 3/4. La probabilité d'un chemin s'obtient ainsi en multipliant les probabilités de ses branches ; on le justifie ici par le dénombrement, et cette règle sera généralisée au lycée. Arbre des possibles ou arbre pondéré Avec une branche par boule, l'arbre ci-dessus aurait 2 4 = 8 chemins. Regrouper les boules de même couleur donne un arbre plus léger, à 4 chemins, à condition d'écrire sur chaque branche la bonne probabilité : 3/4, et non 1/2, pour « rouge » dans U_1. Méthode 1. Repérer les deux épreuves et leur ordre. 2. Tracer le premier niveau, inscrire les probabilités et vérifier que leur somme vaut 1. 3. Pour chaque nœud, se demander si la situation a changé (objet non remis, autre urne), puis tracer le second niveau. 4. Contrôler : loi des nœuds partout, et somme des probabilités de tous les chemins égale à 1. Attention Quand un résultat devient impossible (par exemple, la seule boule noire a déjà été tirée et n'a pas été remise), on ne trace pas sa branche : un nœud peut porter moins de branches qu'un autre. La loi des nœuds reste vraie pour chacun d'eux.

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