Événements certains, impossibles, incompatibles et contraire P(non A) = 1 - P(A)

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Événement impossible : P = 0 ; événement certain : P = 1. • Contraire : P(A) = 1 - P(A) ; le contraire de « au moins un » est « aucun ». • Si A et B sont incompatibles (aucune issue commune) : P(A ou B) = P(A) + P(B).

Le cours

Combiner des événements En 3ème, on ne calcule plus seulement la probabilité d'un événement isolé : on combine des événements avec les mots « et », « ou », « non ». Deux propriétés évitent alors bien des dénombrements : celle de l'événement contraire et celle des événements incompatibles. Ce qu'il faut savoir Un événement impossible n'est réalisé par aucune issue : sa probabilité vaut 0. Un événement certain est réalisé par toutes les issues : sa probabilité vaut 1. L'événement « A et B » est réalisé quand A et B le sont tous les deux ; l'événement « A ou B » est réalisé quand au moins l'un des deux l'est. A et B sont incompatibles s'ils n'ont aucune issue en commun : ils ne peuvent pas se produire en même temps. Dans ce cas seulement, P(A ou B) = P(A) + P(B). Sinon, on compte directement les issues de « A ou B », chacune une seule fois. L'événement contraire de A, noté A (« non A »), est réalisé exactement quand A ne l'est pas. P(A) = 1 - P(A) Pourquoi cette formule ? A et A sont incompatibles, et « A ou A » est certain : donc P(A) + P(A) = 1. Avec un dé équilibré à 6 faces et A : « obtenir 1 ou 2 », les 4 autres faces réalisent A, et l'on a bien P(A) = 4/6 = 1 - 2/6. Méthode : passer par le contraire 1. Formuler précisément le contraire : celui de « au moins un » est « aucun » ; celui de « au plus un » est « au moins deux ». 2. Calculer la probabilité du contraire, souvent plus simple (un seul cas à compter). 3. Conclure par P(A) = 1 - P(A). Attention Avant d'additionner deux probabilités, vérifier que les événements n'ont aucune issue commune. Avec un dé équilibré, « pair » et « supérieur ou égal à 5 » ont l'issue 6 en commun : 3/6 + 2/6 serait faux ; les faces 2, 4, 5 et 6 donnent 4/6 = 2/3. De même, le contraire de « gagner un match » n'est pas « perdre » s'il peut y avoir match nul.

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