Situations concrètes : tirages avec remise et sans remise

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Avec remise : même urne aux deux tirages, n n couples. • Sans remise : n - 1 objets au second tirage, dont un de moins dans la catégorie tirée ; n (n - 1) couples. • Tirage simultané de deux objets : comme deux tirages successifs sans remise.

Le cours

Deux tirages successifs Lorsqu'on tire deux fois dans une urne, un sac ou un paquet de cartes, tout dépend de ce que l'on fait du premier objet. L'énoncé le précise toujours : c'est la première information à repérer. Avec remise, sans remise Avec remise : on remet l'objet avant le second tirage. L'urne est la même pour les deux tirages : le second niveau de l'arbre reprend les probabilités du premier, et le même objet peut sortir deux fois. Avec n objets, il y a n n couples de même chance. Sans remise : l'objet n'est pas remis. Au second tirage, il reste n - 1 objets, dont un de moins dans la catégorie déjà tirée. Il y a n (n - 1) couples de deux objets différents, de même chance. Tirage simultané : prendre deux objets « en même temps » revient à les tirer l'un après l'autre sans remise. Comparer sur une même urne Une urne contient 4 boules jaunes (J) et 2 bleues (B). Probabilité d'obtenir deux boules jaunes : Avec remise : 4/6 4/6 = 4/9 Sans remise : 4/6 3/5 = 2/5 Sans remise, il ne reste que 3 jaunes sur 5 boules au second tirage. Par dénombrement : 4 3 = 12 couples favorables sur 6 5 = 30, et 12/30 = 2/5. Méthode 1. Repérer « avec remise », « sans remise » ou « en même temps ». 2. Premier niveau : effectif de chaque catégorie sur le total n. 3. Second niveau, nœud par nœud : sans remise, retirer 1 au total et 1 à la catégorie déjà tirée, et supprimer une branche devenue impossible. 4. Appliquer le produit et la somme, puis contrôler par un dénombrement des couples. Attention Sans remise, oublier de modifier le numérateur est aussi grave que garder le même dénominateur : dans l'urne ci-dessus, après une boule bleue, la probabilité de tirer une bleue au second tirage vaut 1/5, et non 2/5 ni 2/6. Et un événement comme « une boule de chaque couleur » correspond à deux chemins, (J ; B) et (B ; J).

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