Décomposition d'une fraction en somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1 de 6ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Toute fraction a/b se décompose en q + r/b où a = b q + r avec 0 r < b. • Cette décomposition donne l'encadrement par deux entiers consécutifs : q a/b < q + 1. • Pour recomposer en une seule fraction : q + r/b = q b + r/b.

Le cours

1. Écriture sous forme « partie entière + fraction inférieure à 1 » Toute fraction positive a/b dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur (a b) peut être décomposée de façon unique sous la forme de la somme d'un nombre entier positif q et d'une fraction strictement inférieure à 1 : a/b = q + r/b avec 0 r q est le quotient entier et r est le reste de la division euclidienne de a par b. Cette écriture met en évidence combien d'unités entières complètes sont contenues dans la fraction. 2. Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs La décomposition permet d'encadrer immédiatement la fraction entre deux nombres entiers consécutifs : Si a/b = q + r/b avec r > 0, alors : q Exemple : pour 17/5, la division donne 17 = 5 3 + 2. On écrit 17/5 = 3 + 2/5, et on en déduit l'encadrement : 3 3. Erreur sur le reste Veillez à ce que le numérateur r de la fraction restante soit strictement plus petit que le dénominateur b. Écrire 17/5 = 2 + 7/5 est une égalité mathématiquement vraie mais ce n'est pas la décomposition attendue, car 7/5 > 1.

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