Simplification d'expressions fractionnaires avec des puissances de 10

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Règles : 10^m 10^n = 10^m+n, 10^m/10^n = 10^m-n, (10^m)^n = 10^m n. • Méthode : simplifier numérateur et dénominateur séparément avant d'appliquer le quotient. • Attention aux soustractions d'exposants négatifs : 10^a / 10^-b = 10^a - (-b) = 10^a+b. • Écrire le résultat final sous la forme 10^p.

Le cours

1. Propriétés opératoires sur les puissances de 10 Pour simplifier une fraction composée exclusivement de puissances de 10, on applique les trois règles fondamentales valables pour tous entiers relatifs m et n : Produit : 10^m 10^n = 10^m+n Quotient : 10^m/10^n = 10^m-n Puissance de puissance : (10^m)^n = 10^m n 2. Méthode pas à pas pour réduire une fraction Pour ne commettre aucune erreur de signe, on procède en trois temps bien ordonnés : 1. Supprimer les parenthèses éventuelles au numérateur et au dénominateur avec (10^m)^n = 10^m n. 2. Réduire le numérateur en une seule puissance de 10 en additionnant les exposants, et faire de même pour le dénominateur. 3. Effectuer la soustraction finale des exposants : exposant du haut MOINS exposant du bas. Exemple : 10^5 10^-210^-4 = 10^5+(-2)10^-4 = 10^310^-4 = 10^3 - (-4) = 10^3+4 = 10^7. 3. Le piège du signe moins au dénominateur Lorsque le dénominateur possède un exposant négatif, la règle du quotient impose une soustraction : soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé. Ne pas écrire 10^3 - 4 = 10^-1 à la place de 10^3 - (-4) = 10^7.

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