Image d'une droite et perpendicularité lors d'une rotation d'angle 90 degrés

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• L'image d'une droite par une rotation est une droite. • Par une rotation de 90^, toute droite (d) est perpendiculaire à sa droite image (d'). • La rotation conserve le parallélisme et la perpendicularité.

Le cours

1. Image d'une droite par une rotation Puisque la rotation conserve l'alignement des points, l'image d'une droite (d) par une rotation de centre O et d'angle est une droite (d'). Pour tracer la droite image (d'), il suffit de déterminer l'image de deux points distincts quelconques de (d). Si deux droites (d_1) et (d_2) sont parallèles, leurs droites images (d'_1) et (d'_2) sont également parallèles. Si (d_1) (d_2), alors leurs droites images sont perpendiculaires : (d'_1) (d'_2). 2. Propriété géométrique fondamentale de l'angle 90 degrés Lorsque l'angle de la rotation est égal à 90^ (quart de tour) : Toute droite (d) a pour image une droite (d') qui lui est strictement perpendiculaire : (d) (d') Cette propriété est vraie quelle que soit la position de la droite (d) dans le plan, que le centre de rotation appartienne ou non à la droite. Si (d) et (d') se coupent en un point I, l'angle formé en I est un angle droit (90^). 3. Erreur fréquente Ne pensez pas que la droite image doit forcément passer par le centre O. Le centre O est le pivot du plan : à moins que la droite d'origine (d) ne passe elle-même par O, la droite image (d') ne passera pas par O. En revanche, la distance de O à la droite (d) est égale à la distance de O à la droite (d').

Dans ce chapitre

• Symétrie centrale vue comme demi-tour de 180 degrés de 5ème
• Mesure d'angles au rapporteur et repérage du sens des aiguilles d'une montre de 6ème
• Cercle, rayon, arc de cercle et report de distances au compas de 6ème
• Définition de la rotation : centre, angle et sens de rotation
• Lien entre rotation de 180 degrés et symétrie centrale
• Construction de l'image d'un point et d'une figure par une rotation
• Propriétés de conservation de la rotation (longueurs, angles, aires)
• Rosaces, polygones réguliers et symétries de rotation
• Image d'un point et d'une figure par un quart de tour de 90 degrés sur quadrillage
• Déterminer le centre, l'angle et le sens d'une rotation à partir d'une figure et de son image
• Image d'une droite et perpendicularité lors d'une rotation d'angle 90 degrés
• Composition de rotations successives de même centre et angle résultant
• Pavages du plan et motifs géométriques générés par des rotations répétées
• Bilan : Synthèse et méthode sur la rotation du plan