Composition de rotations successives de même centre et angle résultant

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Deux rotations successives de même centre O et de même sens s'additionnent : angle global + . • Si les sens sont opposés, les angles se soustraient : angle global | - |. • Une rotation de 180^ est une symétrie centrale ; une rotation de 360^ ramène la figure sur elle-même.

Le cours

1. Enchaînement de rotations de même centre Lorsque l'on applique successivement deux rotations qui partagent le même centre O, la transformation résultante est encore une rotation de même centre O. La position finale d'un point dépend uniquement de la somme ou de la différence des angles de rotation. • Même sens : les angles s'additionnent. Une rotation d'angle suivie d'une rotation d'angle dans le même sens équivaut à une rotation unique d'angle : Angle global = + • Sens contraires : les angles se compensent. L'angle résultant vaut | - | dans le sens de la rotation ayant le plus grand angle. 2. Cas particuliers remarquables Certaines compositions d'angles aboutissent à des transformations géométriques fondamentales : • Angle de 180^ : deux quarts de tour successifs de 90^ dans le même sens forment une rotation de 180^, qui est exactement la symétrie centrale de centre O. • Angle de 360^ (tour complet) : quatre quarts de tour de 90^ dans le même sens ramènent chaque point exactement sur sa position initiale (M'' = M). On parle d'identité. • Rotations opposées : tourner de dans un sens puis de dans le sens contraire ramène immédiatement la figure à son état de départ (0^). 3. Erreur fréquente Cette règle simple d'addition des angles n'est valable que si les deux rotations possèdent exactement le même centre. Si les centres sont distincts (O_1 O_2), la composée n'a plus pour centre O_1 ni O_2, et nécessite des outils plus avancés.

Dans ce chapitre

• Symétrie centrale vue comme demi-tour de 180 degrés de 5ème
• Mesure d'angles au rapporteur et repérage du sens des aiguilles d'une montre de 6ème
• Cercle, rayon, arc de cercle et report de distances au compas de 6ème
• Définition de la rotation : centre, angle et sens de rotation
• Lien entre rotation de 180 degrés et symétrie centrale
• Construction de l'image d'un point et d'une figure par une rotation
• Propriétés de conservation de la rotation (longueurs, angles, aires)
• Rosaces, polygones réguliers et symétries de rotation
• Image d'un point et d'une figure par un quart de tour de 90 degrés sur quadrillage
• Déterminer le centre, l'angle et le sens d'une rotation à partir d'une figure et de son image
• Image d'une droite et perpendicularité lors d'une rotation d'angle 90 degrés
• Composition de rotations successives de même centre et angle résultant
• Pavages du plan et motifs géométriques générés par des rotations répétées
• Bilan : Synthèse et méthode sur la rotation du plan