Pavages du plan et motifs géométriques générés par des rotations répétées

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Un motif régulier à n branches s'obtient par rotations successives d'angle = 360^/n. • La condition de raccord parfait sans vide ni chevauchement impose que n = 360^. • Un polygone régulier à n côtés possède n symétries de rotation de même centre.

Le cours

1. Génération de motifs par rotation autour d'un sommet En géométrie et dans les arts décoratifs (rosaces, mosaïques, frises), un motif élémentaire est souvent répété par rotations successives d'un angle constant autour d'un point pivot central O. L'ensemble des images forme une figure globale présentant des symétries de rotation. Une figure possède une symétrie de rotation d'angle si elle coïncide exactement avec elle-même après une rotation de centre O et d'angle . 2. Condition de fermeture angulaire d'un pavage Pour qu'un motif répété se referme parfaitement sans vide ni chevauchement autour d'un sommet commun, la somme des angles autour de ce sommet doit être égale à un tour complet, soit 360^ : Si un motif est répété n fois de manière régulière pour compléter le tour : = 360^/n • Pour n = 3 motifs : angle de 360^/3 = 120^ (ex : hélice tripale, triskèle). • Pour n = 4 motifs : angle de 360^/4 = 90^ (ex : croix, carré). • Pour n = 6 motifs : angle de 360^/6 = 60^ (ex : étoile de neige, pavage hexagonal). 3. Erreur fréquente de fermeture Si l'angle choisi ne divise pas exactement 360^ (par exemple un angle de 50^), la répétition du motif ne se referme pas : au 7ème motif on atteint 350^ (il reste un écart vide de 10^) et au 8ème motif on atteint 400^ (chevauchement avec le motif de départ). Le nombre de motifs doit être un diviseur entier de 360.

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