Arbres pondérés de probabilités

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Chaque chemin de l'arbre représente une issue de l'univers global. • Probabilité d'un chemin = produit des probabilités de ses branches : P(A B) = P(A) P_A(B). • La probabilité d'un événement est la SOMME des probabilités des chemins qui le composent. • Vérification réflexe : la somme des probabilités de TOUS les chemins terminaux doit être égale à 1.

Le cours

Règles des arbres : Somme des branches = 1, Produit le long du chemin 0,6 A 0,4 Ā 0,7 B → 0,42 0,3 B̄ → 0,18 Les 2 lois universelles des arbres • Règle du produit (le long d'un chemin) : La probabilité d'une issue complète est le produit des probabilités de chaque branche rencontrée. • Règle de la somme (à chaque nœud) : La somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1. Méthode 1. Construire l'arbre : un premier niveau pour la première étape, puis, au bout de chaque branche, les issues de la seconde étape. 2. Compléter les pondérations : à chaque nœud, la branche manquante vaut 1 moins la somme des autres. 3. Calculer la probabilité de chaque chemin en multipliant ses branches, par exemple 0,6 0,7 = 0,42 pour le chemin A puis B. 4. Additionner les probabilités des chemins qui réalisent l'événement cherché. Lire les branches du second niveau La branche qui va de A à B porte la probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé, notée P_A(B). La règle du produit s'écrit P(A B) = P(A) P_A(B) ; sur le schéma, P(A B) = 0,6 0,7 = 0,42 et P(A B) = 0,6 0,3 = 0,18, dont la somme redonne P(A) = 0,6.

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