Stabilisation des fréquences et simulation informatique d'un échantillon

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• **Fluctuation d'échantillonnage** : la fréquence observée f = k/n varie d'un échantillon de taille n à l'autre. • **Stabilisation des fréquences** (loi des grands nombres) : quand n augmente, les fréquences se resserrent autour de la probabilité p. • Pour simuler un succès de probabilité p en Python : random() < p, après from random import random. • Ordre de grandeur : l'écart |f - p| dépasse rarement 1n.

Le cours

Lorsqu'on répète une expérience aléatoire dans des conditions identiques, la fréquence d'apparition d'un événement varie d'un échantillon à un autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. La loi empirique des grands nombres énonce que lorsque le nombre n de répétitions augmente et devient très grand (n +), la fréquence observée f_n = k/n se stabilise et tend vers la probabilité théorique p de l'événement. En classe de Seconde, cette stabilisation est mise en évidence à l'aide d'outils numériques (tableur ou scripts Python). On utilise couramment le module random en Python pour simuler n tirages aléatoires et calculer la fréquence expérimentale. Simuler un échantillon en Python La fonction suivante simule n répétitions d'une expérience dont le succès a la probabilité p, et renvoie la fréquence observée des succès : from random import random def frequence(n, p): k = 0 for i in range(n): if random() < p: k = k + 1 return k / n random() renvoie un nombre décimal au hasard dans [0 ; 1[ ; le test random() < p est vrai avec la probabilité p, et k compte les succès. Ce que montre la simulation En exécutant plusieurs fois frequence(n, 0.5), on obtient des fréquences très dispersées pour n = 10 (par exemple de 0,2 à 0,8), puis de plus en plus resserrées autour de 0,5 pour n = 100, 1\,000 et 10\,000. En pratique, l'écart |f - p| dépasse rarement 1n : environ 0,1 pour n = 100 et 0,01 pour n = 10\,000.

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