Formule de la réunion : P(A union B) = P(A) + P(B) - P(A inter B)

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Pour tous événements A et B : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). • Si A et B sont incompatibles (A B = ) : P(A B) = P(A) + P(B). • A B se lit « A ou B » (au moins l'un des deux) et A B se lit « A et B » (les deux à la fois).

Le cours

La probabilité que l'événement A OU l'événement B se réalise (A B) ne correspond à la simple somme P(A) + P(B) que si les deux événements ne peuvent pas se produire en même temps (événements incompatibles). Dans le cas général, il faut impérativement retrancher la probabilité de leur intersection (A B). 1. La formule de la réunion Pour deux événements A et B d'un même univers : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) En additionnant P(A) et P(B), on compte deux fois les issues communes à A et B : on retire donc une fois P(A B). Écrite P(A B) + P(A B) = P(A) + P(B), elle relie quatre nombres : trois suffisent pour trouver le quatrième. Exemple au dé équilibré : A = « au moins 5 » = \5 ; 6\ et B = « impair » = \1 ; 3 ; 5\, avec A B = \5\. Alors P(A B) = 2/6 + 3/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3, et l'on retrouve les 4 issues de \1 ; 3 ; 5 ; 6\. 2. Méthode 1. Nommer les événements et traduire « ou » par , « et » par . 2. Relever les trois probabilités connues : une phrase comme « 15\ \% font les deux » donne P(A B). 3. Écrire la formule en lettres, puis remplacer par les valeurs. 4. Vérifier : une réunion est comprise entre la plus grande des deux probabilités et 1 ; une intersection entre 0 et la plus petite. 3. Cas des événements incompatibles Si A B = , alors P(A B) = 0 et la formule se réduit à P(A B) = P(A) + P(B). Au dé : « obtenir 1 » ou « obtenir un nombre pair » a pour probabilité 1/6 + 3/6 = 2/3.

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