Effet d'une transformation affine sur la moyenne et l'étendue

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Pour y_i = ax_i + b avec a > 0 : y = a\,x + b ; la médiane se transforme de la même façon. • L'étendue et l'écart interquartile sont multipliés par a : e_y = a\,e_x. • Ajouter une même constante b à toutes les valeurs ne change aucun indicateur de dispersion.

Le cours

Lorsqu'on applique une formule de transformation affine y_i = a x_i + b (avec a > 0) à toutes les valeurs d'une série statistique (comme un barème ajusté ou un changement d'unité), les indicateurs de position et de dispersion sont modifiés de façon prévisible et rigoureuse. Propriétés Si chaque valeur x_i d'une série est remplacée par y_i = ax_i + b, avec a > 0 : y = a\,x + b e_y = a\,e_x La moyenne, comme la médiane et les quartiles, subit la même transformation que les données. L'étendue, différence de deux valeurs, est multipliée par a et ne dépend pas de b : (ax_ + b) - (ax_ + b) = a(x_ - x_). Il en va de même pour l'écart interquartile. Si l'on avait a Justification pour la moyenne Pour une série de N valeurs : y = (ax_1 + b) + + (ax_N + b)/N = a(x_1 + + x_N) + Nb/N = a\,x + b. Méthode 1. Identifier a et b : ajouter 3 points à chaque note, c'est a = 1 et b = 3 ; augmenter chaque prix de 10\ \%, c'est a = 1,1 et b = 0. 2. Appliquer la transformation à la moyenne, puis multiplier l'étendue par a, sans lui ajouter b. 3. Mini-exemple : les notes 6, 10 et 14 (moyenne 10, étendue 8) transformées par y = 0,5x + 8 deviennent 11, 13 et 15, de moyenne 0,5 10 + 8 = 13 et d'étendue 0,5 8 = 4.

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