Sens de variation et représentations graphiques des suites de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Croissance** : pour tout entier naturel n, u_n+1 u_n u_n+1 - u_n 0. • **Décroissance** : pour tout entier naturel n, u_n+1 u_n u_n+1 - u_n 0. • **Représentation web/escalier** : tracer y = f(x) et la première bissectrice y = x. Chaque report horizontal sur y = x convertit une ordonnée u_n+1 en abscisse pour l'étape suivante.

Le cours

1. Sens de variation : définitions Une suite (u_n) est croissante si, pour tout entier n, u_n+1 u_n ; strictement croissante si u_n+1 > u_n ; décroissante si u_n+1 u_n ; constante si u_n+1 = u_n. Une suite croissante ou décroissante est dite monotone. 2. Trois méthodes pour étudier les variations 1. Étudier le signe de u_n+1 - u_n (méthode toujours possible). 2. Si tous les termes sont strictement positifs, comparer u_n+1u_n à 1. 3. Si u_n = f(n) avec f monotone sur [0 ; +[, la suite a le même sens de variation que f. Cas usuels : une suite arithmétique varie selon le signe de sa raison r ; une suite géométrique de premier terme u_0 > 0 est croissante si q > 1 et décroissante si 0 3. Représentations graphiques On représente une suite par le nuage des points isolés (n ; u_n). Pour une suite récurrente u_n+1 = f(u_n), on trace la courbe de f et la droite y = x : partant de u_0 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe (ordonnée u_1), on rejoint horizontalement la droite y = x pour reporter u_1 en abscisse, puis on recommence. On obtient un escalier si f est croissante, une spirale si f est décroissante ; les termes s'accumulent près de l'intersection de la courbe et de y = x. 4. Attention Pour u_n+1 = f(u_n), une fonction f croissante ne rend pas la suite croissante : avec f(x) = 0,5x + 2 et u_0 = 6, on obtient u_1 = 5 puis u_2 = 4,5, la suite décroît vers 4.

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