Limite et comportement asymptotique des suites arithmético-géométriques

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Critère de convergence** : Si -1 1, la suite tend vers + (si u_0 > ) ou vers - (si u_0 < ).

Le cours

1. Limite d'une suite géométrique Pour un réel q : si -1 1, _n + q^n = + ; si q = 1, q^n = 1 ; si q -1, (q^n) n'a pas de limite. 2. Application aux suites arithmético-géométriques Par produit puis somme de limites : • -1 • a > 1 et u_0 > : u_n = +. • a > 1 et u_0 • u_0 = : la suite est constante égale à . • a -1 et u_0 : pas de limite, les termes oscillent de part et d'autre de . 3. Sens de variation et vitesse On a u_n+1 - u_n = (u_0 - )(a - 1)\,a^n. Pour 0 , elle décroît vers . La distance à l'équilibre |u_n - | est multipliée par |a| à chaque étape : plus a est proche de 0, plus la stabilisation est rapide. 4. Rédaction La limite d'une suite arithmético-géométrique n'est pas toujours son point fixe : il faut citer l'hypothèse sur la raison, par exemple « comme -1 < 0,6 < 1, 0,6^n = 0 », avant de conclure par produit et somme.

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