Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles d'évolution discrets & Suites arithmético-géométriques

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

Pour toute suite u_n+1 = a u_n + b, u_n = (u_0 - L) a^n + L où L = b/1-a. Si |a| 1 et u_0 L, (u_n) diverge vers .

Le cours

Synthèse globale : Traitement complet d'une suite arithmético-géométrique Les suites arithmético-géométriques constituent un modèle central d'évolution discrète. La démarche en 4 étapes doit être exécutée avec une rigueur absolue dans la rédaction. Les 4 étapes clés de rédaction Point fixe : Poser et résoudre L = aL + b L = b/1-a. Nature géométrique : Écrire v_n+1 = u_n+1 - L = a u_n + b - (aL+b) = a(u_n - L) = a v_n. Conclure que (v_n) est géométrique de raison a et préciser v_0 = u_0 - L. Formule explicite : Donner v_n = v_0 a^n puis u_n = v_n + L. Limite et seuil : Étudier la limite quand n + (a^n 0 si |a|

Dans ce chapitre

• Suites arithmétiques et géométriques de Première
• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et taux d'évolution global de Première
• Sens de variation et représentations graphiques des suites de Première
• Suites arithmético-géométriques (u_n+1 = a u_n + b)
• Modélisation de populations et amortissements
• Reconnaissance et formulation d'un modèle discret arithmético-géométrique
• Détermination du point fixe et suite auxiliaire géométrique
• Expression explicite du terme général u_n d'une suite arithmético-géométrique
• Limite et comportement asymptotique des suites arithmético-géométriques
• Seuil et résolution d'inéquations du type u_n > S par le logarithme
• Modélisation de la dynamique des populations (modèle de Malthus et variations)
• Modélisation financière : Plans d'épargne, crédits et amortissements
• Algorithmes de calcul de seuil et programmation Python des suites récurrentes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles d'évolution discrets & Suites arithmético-géométriques