Reconnaissance et formulation d'un modèle discret arithmético-géométrique

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Forme générale** : u_n+1 = a u_n + b avec a 0 et a 1. • **Cas particuliers** : a = 1 suite arithmétique de raison b ; b = 0 suite géométrique de raison a. • **Identification en situation concrète** : repérer la part conservée ou multipliée (a) et la quantité fixe ajoutée ou soustraite (b) à chaque pas de temps discret.

Le cours

1. Le modèle arithmético-géométrique Un modèle discret arithmético-géométrique décrit une grandeur qui, d'une étape à la suivante, subit une évolution en pourcentage (coefficient multiplicateur a) puis un apport (b > 0) ou un retrait (b u_n+1 = a\,u_n + b Si a = 1, il ne reste que l'ajout constant : suite arithmétique. Si b = 0, il ne reste que le pourcentage : suite géométrique. 2. Méthode : traduire un énoncé 1. Fixer l'indice (n = 0 pour l'année de départ) et l'unité, puis écrire u_0. 2. Traduire le pourcentage : « perd 12\ \% » donne a = 0,88 ; « augmente de 3\ \% » donne a = 1,03 ; « conserve 70\ \% » donne a = 0,7. 3. Traduire le flux constant : « on ajoute 500 » donne b = 500 ; « on retire 80 » donne b = -80. 4. Respecter l'ordre des opérations décrit par l'énoncé. 5. Vérifier en calculant u_1 à la main à partir du texte. 3. Attention à l'ordre des opérations Une association compte 300 membres ; chaque année, 50 personnes adhèrent en janvier, puis 10\ \% des membres partent en décembre. Le pourcentage s'applique après l'apport : u_n+1 = 0,9(u_n + 50) = 0,9u_n + 45, et non 0,9u_n + 50. On trouve u_1 = 0,9 350 = 315.

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