Modélisation financière : Plans d'épargne, crédits et amortissements

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Épargne avec versement régulier** : C_n+1 = (1 + i)C_n + V. • **Reste dû d'un emprunt** : R_n+1 = (1 + i)R_n - M, où i est le taux périodique et M la mensualité. • **Équation d'amortissement complet** : pour rembourser un capital initial K en N périodes, on impose R_N = 0, ce qui détermine la mensualité exacte M = K i1 - (1+i)^-N.

Le cours

1. Épargne avec versements réguliers Un capital C_n rapporte des intérêts au taux périodique i, puis reçoit un versement fixe V : C_n+1 = (1 + i)\,C_n + V. Le point fixe vaut = -V/i ; il est négatif et sans sens concret, mais il sert au calcul : C_n = (C_0 + V/i)(1 + i)^n - V/i 2. Emprunt à mensualités constantes Le capital restant dû R_n produit des intérêts i\,R_n puis diminue de la mensualité M : R_n+1 = (1 + i)\,R_n - M, de point fixe = M/i. Le prêt n'est remboursable que si M > i\,R_0. Pour solder un capital R_0 en N mensualités, on impose R_N = 0, ce qui donne : M = R_0\, i1 - (1 + i)^-N Exemple : 12\,000\ € sur 48 mois au taux mensuel de 0,4\ \% donnent M 275,27\ € ; le coût du crédit est 48M - 12\,000 1\,213\ €. 3. Méthode 1. Convertir le taux à la périodicité des versements (taux annuel divisé par 12 pour des mensualités, en taux proportionnel). 2. Écrire la récurrence en respectant le signe du flux : +V pour l'épargne, -M pour l'emprunt. 3. Utiliser le point fixe pour obtenir la formule explicite, puis calculer ou résoudre une inéquation. 4. Attention Les intérêts portent sur le capital restant dû, et non sur le capital emprunté au départ : ils diminuent à chaque mensualité, tandis que la part de capital remboursée augmente.

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