Expression explicite du terme général u_n d'une suite arithmético-géométrique

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Formule explicite universelle** : pour tout n N, u_n = (u_0 - ) a^n + avec = b/1 - a • **Démarche en 4 étapes** : 1. Calculer le point fixe = b/1-a. 2. Poser v_n = u_n - et préciser v_0 = u_0 - . 3. Exprimer v_n = v_0 a^n. 4. Conclure avec u_n = v_n + .

Le cours

1. Formule explicite Pour u_n+1 = a u_n + b avec a 1 et = b/1-a, la suite géométrique v_n = u_n - donne v_n = (u_0 - )\,a^n, d'où, pour tout entier naturel n : u_n = (u_0 - )\,a^n + Interprétation : l'écart à l'équilibre u_n - est multiplié par a à chaque étape. Si la suite commence au rang 1, on écrit u_n = (u_1 - )\,a^n-1 + . 2. Mini-exemple Soit u_0 = 1 et u_n+1 = 3u_n - 4. 1. Point fixe : = 3 - 4 2 = 4 = 2. 2. Écart initial : u_0 - = 1 - 2 = -1. 3. Formule : u_n = -1 3^n + 2 = 2 - 3^n. 4. Test : u_1 = 3 1 - 4 = -1 et 2 - 3^1 = -1. 3. Erreurs fréquentes La puissance porte sur a seul : (u_0 - )\,a^n n'est ni (u_0 - )^n ni u_0 - \,a^n. Si le premier terme est u_1, l'exposant devient n - 1 : avec u_1 = 5, on a u_1 = (5 - )\,a^0 + = 5, ce qui permet de vérifier.

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