Seuil et résolution d'inéquations du type u_n > S par le logarithme

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Règle clé du logarithme** : pour a > 0, (a^n) = n (a). • **Sens de l'inégalité lors de la division** : - Si a > 1, alors (a) > 0 : le sens de l'inégalité **ne change pas** lors de la division par (a). - Si 0 < a < 1, alors (a) < 0 : le sens de l'inégalité **s'inverse impérativement** lors de la division par (a) !

Le cours

1. Outil : le logarithme népérien La fonction est strictement croissante sur ]0 ; +[ : pour x > 0 et y > 0, x (q^n) = n q (q > 0) De plus, q > 0 si q > 1 et q 2. Méthode 1. Écrire l'inéquation u_n > S avec la formule explicite. 2. Isoler q^n (changer le sens si l'on divise par un nombre négatif). 3. Appliquer , qui conserve le sens, puis écrire n q. 4. Diviser par q : le sens change si 0 5. Conclure par le plus petit entier qui convient et vérifier avec deux termes consécutifs. Mini-exemple : 2^n 1000 n 1000/ 2 9,97, donc n = 10 ; en effet 2^9 = 512 et 2^10 = 1024. 3. Un seuil peut être inaccessible Avant de calculer, comparer le seuil à la limite. Avec u_n = 20 - 15 0,7^n, qui croît vers 20, l'inéquation u_n > 21 donne 0,7^n < -1/15 : impossible, car une puissance de 0,7 est positive. Le logarithme d'un nombre négatif n'existe pas.

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