Détermination du point fixe et suite auxiliaire géométrique

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Équation du point fixe** : = a + b (1 - a) = b = b/1 - a. • **Suite auxiliaire** : on pose v_n = u_n - . • **Nature de (v_n)** : pour tout n, v_n+1 = a v_n. La suite (v_n) est géométrique de raison a et de premier terme v_0 = u_0 - .

Le cours

1. Point fixe Pour une suite u_n+1 = a u_n + b avec a 1, le point fixe est le réel tel que = a + b : si u_0 = , la suite reste constante égale à . = a + b = b/1 - a Graphiquement, est l'abscisse du point d'intersection de la droite y = ax + b avec la droite y = x. 2. Démontrer que la suite auxiliaire est géométrique Exemple : u_n+1 = 0,5u_n + 3. Le point fixe vérifie 0,5 = 3, donc = 6. Pour tout n : 1. v_n+1 = u_n+1 - 6 = 0,5u_n + 3 - 6 = 0,5u_n - 3. 2. On factorise par 0,5 : 0,5u_n - 3 = 0,5(u_n - 6), car 30,5 = 6. 3. Donc v_n+1 = 0,5\,v_n : (v_n) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v_0 = u_0 - 6. 3. Points de vigilance Souvent l'énoncé donne directement v_n = u_n - : il suffit alors de faire le calcul de l'étape 1, sans redémontrer d'où vient . La factorisation doit faire réapparaître exactement u_n - ; si on obtient autre chose (par exemple 0,5(u_n - 3)), c'est qu'il y a une erreur de calcul ou que est faux.

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