Suites arithmético-géométriques (u_n+1 = a u_n + b)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

Pour u_n+1 = a u_n + b avec a 1, on cherche le point fixe L = b/1-a. La suite auxiliaire v_n = u_n - L est géométrique de raison a. Si |a| < 1, (u_n) converge vers L.

Le cours

Définition d'une suite arithmético-géométrique Une suite (u_n) est dite arithmético-géométrique lorsqu'elle est définie par son premier terme u_0 et une relation de récurrence de la forme : u_n+1 = a u_n + b avec a 1 et b 0 Méthode de résolution canonique : La suite auxiliaire géométrique 1. Recherche du point fixe L : on résout l'équation L = a L + b L(1 - a) = b L = b/1 - a. 2. Introduction de la suite auxiliaire : on pose v_n = u_n - L. 3. Preuve de la nature géométrique de (v_n) : v_n+1 = u_n+1 - L = (a u_n + b) - (a L + b) = a (u_n - L) = a v_n (v_n) est donc une suite géométrique de raison a et de premier terme v_0 = u_0 - L. 4. Formule explicite de (u_n) : u_n = v_n + L = (u_0 - L) a^n + L Convergence et limite Si |a| < 1, alors _n + a^n = 0, et par conséquent : _n + u_n = L = b/1 - a Le système converge vers son équilibre stable L, quelle que soit la valeur initiale u_0.

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