Modélisation de la dynamique des populations (modèle de Malthus et variations)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Modèle malthusien pur** : P_n = P_0 (1 + r)^n (croissance géométrique sans entrave). • **Modèle avec régulation/prélèvement constant** : P_n+1 = a P_n - b. • **Effectif d'équilibre** : pour P_n+1 = a P_n - b avec a > 1, l'effectif = b/a - 1 reste constant, car l'accroissement naturel compense exactement le prélèvement. • **Seuil instable** : si P_0 > , la population croît ; si P_0 < , l'écart P_n - , négatif, est multiplié par a chaque année et la population s'éteint en un nombre fini d'années.

Le cours

1. Modèle de Malthus (discret) Dans le modèle de Malthus, l'accroissement annuel est proportionnel à l'effectif : P_n+1 - P_n = r\,P_n, où r est le taux d'accroissement naturel (natalité moins mortalité), supposé constant. La suite est géométrique : P_n+1 = (1 + r)\,P_n P_n = P_0\,(1 + r)^n Si r > 0, la population croît sans limite. Malthus (1798) opposait cette croissance géométrique à une croissance seulement arithmétique des subsistances : à long terme, le modèle devient irréaliste. 2. Variantes avec un flux constant On ajoute un apport (b > 0 : immigration, réintroduction) ou un prélèvement (b • r > 0 et prélèvement : est un seuil instable ; au-dessus, la population croît, au-dessous, elle décline jusqu'à l'extinction. • r équilibre stable vers lequel la population converge. 3. Limites du modèle Un effectif est un entier positif : on arrondit les résultats, et P_n 0 signifie l'extinction. Un modèle n'est valable que sur une durée limitée ; pour tenir compte des ressources, on utilise d'autres modèles (par exemple le modèle logistique).

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