Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Définition du nombre dérivé** : f'(a) = _h 0 f(a+h) - f(a)/h • **Signification géométrique** : f'(a) est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe C_f au point d'abscisse a. • **Équation de la tangente** : y = f'(a)(x - a) + f(a)

Le cours

1. Taux de variation et nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a I et h 0 tel que a + h I. Le taux de variation de f entre a et a + h est le coefficient directeur de la sécante passant par A(a\,;\,f(a)) et M(a + h\,;\,f(a + h)) : (h) = f(a+h) - f(a)/h Si (h) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a et est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a). 2. Tangente à la courbe Quand h tend vers 0, la sécante (AM) « pivote » autour de A et se rapproche d'une droite limite : la tangente à C_f en A. C'est la droite passant par A de coefficient directeur f'(a) ; son équation réduite est : y = f'(a)(x - a) + f(a) Cas particulier : la tangente est horizontale en A si et seulement si f'(a) = 0. 3. Méthode et mini-exemple 1. Calculer (h) et le simplifier par h, puis faire tendre h vers 0 (ou utiliser directement la fonction dérivée). 2. Calculer f(a) : c'est l'ordonnée du point de contact. 3. Remplacer dans y = f'(a)(x - a) + f(a) et réduire. Exemple : f(x) = x^2 et a = 3. (h) = (3+h)^2 - 9/h = 6h + h^2/h = 6 + h, qui tend vers 6 : f'(3) = 6. La tangente est y = 6(x - 3) + 9, soit y = 6x - 9. 4. Attention f(a) est une ordonnée (hauteur du point de contact), f'(a) est une pente. Une fonction peut ne pas être dérivable en un point : la racine carrée n'est pas dérivable en 0, car hh = 1h tend vers + (tangente verticale).

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité