Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Les 3 conditions impératives d'unicité** : 1. f est **continue** sur [a, b]. 2. f est **strictement monotone** sur [a, b]. 3. Le réel k est **compris entre** f(a) et f(b) (ou dans l'intervalle image f([a, b])). • **Conclusion** : l'équation f(x) = k admet une unique solution [a, b].

Le cours

1. Théorème des valeurs intermédiaires (admis) Soit f une fonction continue sur un intervalle [a\,;\,b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a\,;\,b]. Interprétation graphique : une courbe tracée « sans lever le crayon » qui part de la hauteur f(a) et arrive à la hauteur f(b) coupe forcément la droite horizontale y = k. 2. Corollaire : cas d'une fonction strictement monotone Si f est continue et strictement monotone sur [a\,;\,b], alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a\,;\,b]. continue + strictement monotone + k entre f(a) et f(b) une seule solution Le résultat s'étend à un intervalle ouvert ou non borné, en remplaçant f(a) et f(b) par les limites aux bornes. 3. Méthode de rédaction 1. Continuité : « f est dérivable sur [a\,;\,b] donc continue » (polynôme, exponentielle, quotient dont le dénominateur ne s'annule pas…). 2. Stricte monotonie : signe de f'(x) ou tableau de variations. 3. Calcul de f(a) et f(b) et vérification que k est entre les deux. 4. Conclusion en citant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Si k = 0, on en déduit le signe de f de part et d'autre de . 4. Attention : la continuité est indispensable La fonction inverse vérifie f(-1) = -1 et f(1) = 1, mais 1/x = 0 n'a aucune solution : f n'est pas définie (donc pas continue) en 0 [-1\,;\,1]. Le théorème ne s'applique pas.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité