Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Convexe** : la courbe « sourit » , les cordes sont au-dessus de l'arc, les tangentes sont en dessous, et f' est **croissante**. • **Concave** : la courbe « fait la moue » , les cordes sont en dessous de l'arc, les tangentes sont au-dessus, et f' est **décroissante**. • **Exemples de référence** : - x e^x et x x^2 sont **convexes** sur R. - x (x) et x x sont **concaves** sur leurs ensembles de définition.

Le cours

1. Définition par les sécantes Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C_f sa courbe. Pour deux points A et B de C_f, le segment [AB] est une corde (portion de sécante). • f est convexe sur I si, pour tous points A et B de C_f, l'arc de courbe entre A et B est situé en dessous de la corde [AB]. • f est concave sur I si l'arc est toujours situé au-dessus de la corde. 2. Caractérisations pour une fonction dérivable (admises) Si f est dérivable sur I, les trois propositions suivantes sont équivalentes : f convexe sur I C_f au-dessus de ses tangentes f' croissante sur I De même, f est concave sur I si et seulement si C_f est en dessous de ses tangentes, si et seulement si f' est décroissante sur I. 3. Fonctions de référence et mini-exemple • Convexes : x x^2 et x e^x sur R ; x 1/x sur ]0\,;\,+[. • Concaves : x x sur [0\,;\,+[ ; x x sur ]0\,;\,+[ ; x 1/x sur ]-\,;\,0[. • x x^3 est concave sur ]-\,;\,0] et convexe sur [0\,;\,+[. Exemple : pour f(x) = x^2, la corde entre A(-1\,;\,1) et B(2\,;\,4) a pour équation y = x + 2. En x = 0,5 : f(0,5) = 0,25 2,5, l'arc est bien sous la corde. 4. Attention La convexité est une propriété sur un intervalle : x 1/x est convexe sur ]0\,;\,+[ et concave sur ]-\,;\,0[, mais on ne dit pas qu'elle est convexe ou concave sur R^*, qui n'est pas un intervalle.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité