Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• Signe de la dérivée sens de variation de la fonction. • Les extremums locaux sont atteints lorsque f'(x) = 0 en changeant de signe.

Le cours

1. Tableau des dérivées usuelles indispensables • (k)' = 0 (constante) (x)' = 1 (x^n)' = n x^n-1 \; (n 1) • (1/x)' = -1/x^2 (x)' = 12x (e^x)' = e^x 2. Règles opératoires de dérivation Somme : (u + v)' = u' + v' Multiplication par une constante : (k u)' = k u' Produit : (u v)' = u' v + u v' (attention au piège : jamais u' v' !) Quotient : (u/v)' = u' v - u v'/v^2 3. Lien entre le signe de la dérivée et les variations Sur un intervalle I : • Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. • Si f'(x) strictement décroissante sur I. • Si f' s'annule en x_0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x_0.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité