Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Définition** : point où la courbe change de convexité ; la tangente y traverse la courbe. • **Critère analytique indispensable** : f''(a) = 0 ET f'' change de signe en a • **Signification concrète** : c'est l'instant où la vitesse d'évolution est maximale ou minimale (la dérivée première f' y admet un extremum local).

Le cours

1. Définition Soit f dérivable sur un intervalle I et a un point intérieur à I. Le point A(a\,;\,f(a)) est un point d'inflexion de C_f si la courbe change de convexité en A : f est convexe d'un côté de a et concave de l'autre. Conséquences : en un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe, et la dérivée f' admet un extremum local (la pente est la plus forte ou la plus faible). 2. Détection avec la dérivée seconde Si f est deux fois dérivable sur I : A(a\,;\,f(a)) point d'inflexion f'' s'annule en changeant de signe en a 3. Méthode et mini-exemple 1. Calculer f''(x) et résoudre f''(x) = 0. 2. Pour chaque solution a, vérifier dans le tableau de signes que f'' change de signe en a. 3. Calculer l'ordonnée f(a) avec f et donner le point (a\,;\,f(a)). Exemple : f(x) = x^3. f''(x) = 6x est négatif avant 0 et positif après : l'origine est un point d'inflexion, et la tangente y = 0 y traverse la courbe. 4. Attention f''(a) = 0 est nécessaire mais ne suffit pas : pour x x^4, f''(0) = 0 mais f''(x) = 12x^2 reste positif, la fonction est convexe sur tout R et l'origine n'est pas un point d'inflexion.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité