Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Point critique** : f'(x) = 0. • **Test de la dérivée seconde** : - Si f'(x_0) = 0 et f''(x_0) 0 x_0 est un **minimum local**. • **Vocabulaire économique** : coût moyen C_M(q) = C(q)/q, coût marginal C_m(q) C'(q), bénéfice B(q) = R(q) - C(q).

Le cours

1. Extremums d'une fonction sur un intervalle Optimiser, c'est chercher la valeur de la variable (quantité produite, dose, temps, dimension) qui rend une grandeur maximale (bénéfice, concentration, rendement) ou minimale (coût, longueur, perte). Si f est dérivable sur I et admet un extremum local en un point x_0 intérieur à I, alors f'(x_0) = 0. Réciproquement, si f' s'annule en x_0 en changeant de signe, f(x_0) est un extremum local. 2. Méthode d'optimisation 1. Traduire l'énoncé : variable, intervalle d'étude imposé par la situation, fonction à optimiser. 2. Calculer f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations. 3. Comparer la valeur au point critique avec les valeurs aux bornes de l'intervalle. 4. Répondre à la question posée avec l'unité (quantité optimale et valeur optimale). 3. Apport de la convexité Sur un intervalle, si f est concave (f'' 0), un point où f' s'annule donne le maximum global ; si f est convexe (f'' 0), il donne le minimum global. Le tableau de variations reste la justification la plus sûre. 4. Modèles usuels • Économie : bénéfice B(q) = R(q) - C(q) ; coût moyen C_M(q) = C(q)/q ; coût marginal assimilé à C'(q). • Biologie : concentration d'un médicament dans le sang C(t) = 20t\,e^-0,5t (en mg/L, t en heures). C'(t) = 20e^-0,5t(1 - 0,5t) s'annule en t = 2 en passant du positif au négatif : la concentration est maximale au bout de 2 h et vaut C(2) = 40e^-1 14,7 mg/L.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité