Convexité, concavité et points d'inflexion

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Convexe** sur I f''(x) 0 sur I courbe au-dessus de ses tangentes. • **Concave** sur I f''(x) 0 sur I courbe au-dessous de ses tangentes. • **Point d'inflexion** en x_0 f'' s'annule en changeant de signe en x_0 (la tangente y traverse la courbe).

Le cours

Convexité et concavité Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, de courbe C_f : f est convexe sur I : C_f est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes f' est croissante f''(x) 0 pour tout x I. f est concave sur I : C_f est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes f' est décroissante f''(x) 0 pour tout x I. Point d'inflexion Un point d'inflexion est un point de la courbe où la convexité change (la courbe passe de convexe à concave ou inversement). Au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe représentative. Caractérisation algébrique : Le point A(x_0 ; f(x_0)) est un point d'inflexion si et seulement si f''(x) s'annule en x_0 en changeant de signe.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité