Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Principe du balayage** : si f est strictement croissante et que f(x_1) < k < f(x_2) avec x_2 - x_1 = 10^-p, alors [x_1, x_2] est un **encadrement à 10^-p près**. • **Dichotomie** : à chaque étape, on remplace [a, b] par [a, m] ou [m, b] où m = a+b/2. La largeur de l'intervalle est divisée par 2 à chaque itération : amplitude b-a/2^n.

Le cours

1. Pourquoi une résolution approchée ? Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires prouve qu'une équation f(x) = k a une unique solution , sans la calculer. Pour des équations comme e^x + x = 3 ou x^3 + x = 3, aucune technique algébrique du programme ne donne : on en cherche un encadrement a_n Un encadrement d'amplitude 10^-p est un encadrement a_n 2. Méthode de balayage 1. Calculer f(x) de a à b avec un pas régulier (par exemple 0,1), à la calculatrice (menu table) ou avec une boucle Python. 2. Repérer deux valeurs consécutives x_1 et x_2 = x_1 + 0,1 telles que k soit compris entre f(x_1) et f(x_2) : alors x_1 3. Recommencer sur [x_1\,;\,x_2] avec un pas de 0,01, puis 0,001 : chaque passage apporte une décimale exacte. 3. Méthode de dichotomie 1. Calculer le milieu m = a + b/2 et le signe de f(m) - k. 2. Garder la moitié [a\,;\,m] ou [m\,;\,b] aux bornes de laquelle f - k change de signe. 3. Après n étapes, l'amplitude vaut b - a/2^n : elle est divisée par 2 à chaque étape, ce qui se programme facilement avec une boucle « tant que l'amplitude dépasse la précision voulue ». 4. Attention au vocabulaire Un encadrement s'écrit 1,21 < < 1,22. Une valeur approchée « à 10^-2 près par défaut » est alors 1,21, « par excès » 1,22. L'arrondi au centième exige de savoir si est avant ou après 1,215 : il faut calculer f(1,215).

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité