Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Forme type de Verhulst** : f(t) = M1 + k e^-a t. • **Capacité maximale de saturation** : _t + f(t) = M car _t + e^-at = 0. • **Vitesse de croissance maximale** : au point d'inflexion t_0 = k/a, où f(t_0) = M/2. • **Convexité** : f est convexe sur ]-\,;\,t_0] (phase d'accélération) puis concave sur [t_0\,;\,+[ (phase de freinage).

Le cours

1. Le modèle logistique Le modèle exponentiel (Malthus) suppose une croissance proportionnelle à l'effectif : f' = af. Il devient irréaliste quand les ressources sont limitées. Le modèle logistique (Verhulst) freine la croissance à l'approche d'une capacité limite M : f(t) = M1 + k\,e^-at (M > 0,\ k > 0,\ a > 0) Effectif initial : f(0) = M/1 + k. La fonction vérifie f'(t) = a\,f(t)(1 - f(t)/M) : la croissance est presque exponentielle quand f est petit, et presque nulle quand f approche M. 2. Propriétés • f'(t) = Mak\,e^-at(1 + k e^-at)^2 > 0 : f est strictement croissante. • _t + f(t) = M (asymptote y = M) et _t - f(t) = 0 (asymptote y = 0). • Point d'inflexion en t_0 = k/a, où f(t_0) = M/2 : f est convexe sur ]-\,;\,t_0], concave sur [t_0\,;\,+[, et la vitesse f' y est maximale. 3. Mini-exemple Une population de bactéries suit f(t) = 5001 + 4e^-0,2t (t en heures, f en milliers). Au départ f(0) = 500/5 = 100 milliers ; la population se stabilise vers 500 milliers ; la croissance est la plus rapide en t_0 = 40,2 = 5 4 6,9 h, quand f = 250 milliers. 4. Attention Le modèle se valide sur les données : on vérifie que la courbe a bien la forme en « S » (accélération puis freinage) et que les valeurs observées s'approchent d'un plafond. Une croissance qui ne ralentit pas relève plutôt du modèle exponentiel.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité