Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Équation de la tangente en a** : y = T(x) = f'(a)(x - a) + f(a). • **Écart algébrique** : d(x) = f(x) - T(x). • **Inégalité de convexité** : si f est convexe sur I, alors pour tout x, a I : f(x) f'(a)(x - a) + f(a) • **Inégalité de concavité** : si f est concave sur I, alors pour tout x, a I : f(x) f'(a)(x - a) + f(a)

Le cours

1. Tangente et écart à la courbe Soit f dérivable sur un intervalle I et a I. La tangente T_a à C_f au point d'abscisse a a pour équation y = f'(a)(x - a) + f(a). Pour comparer la courbe et la tangente, on étudie le signe de l'écart : d(x) = f(x) - [f'(a)(x - a) + f(a)] • Si d(x) 0 sur I, C_f est au-dessus de T_a ; si d(x) 0, elle est en dessous. • On a toujours d(a) = 0 : le point de contact est commun. 2. Méthode 1. Écrire l'équation de T_a et former d(x). 2. Réduire d(x) et le factoriser : pour un polynôme, (x - a)^2 est toujours un facteur, puisque d(a) = 0 et d'(a) = 0. 3. Dresser le tableau de signes de d(x) et conclure intervalle par intervalle. Exemple : pour f(x) = x^2, T_a : y = 2ax - a^2 et d(x) = x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 0 : la parabole est au-dessus de toutes ses tangentes. 3. Lien avec la convexité Si f est convexe sur I, la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, sans calcul de signe : pour tous x et a de I, f(x) f'(a)(x - a) + f(a). Si f est concave, l'inégalité est renversée. C'est ainsi qu'on obtient des inégalités classiques : e^x x + 1 sur R, x x - 1 sur ]0\,;\,+[. 4. Attention Quand f change de convexité, la position dépend de x : il faut alors étudier le signe de d(x), et la tangente peut recouper la courbe en un autre point.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité