Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Existence (TVI)** : f continue sur [a\,;\,b] et k compris entre f(a) et f(b) l'équation f(x) = k a au moins une solution dans [a\,;\,b]. • **Unicité** : si de plus f est strictement monotone sur [a\,;\,b], cette solution est unique. • **Rédaction** : continuité, stricte monotonie, puis k compris entre f(a) et f(b) (l'ordre dépend du sens de variation).

Le cours

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c [a ; b] tel que : f(c) = k Corollaire : Théorème de la bijection (unicité) Si en plus d'être continue, la fonction f est strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) : L'équation f(x) = k admet une unique solution [a ; b]. Application : Détermination du signe de f(x) L'unique solution de f(x) = 0 sépare l'intervalle en deux zones où f garde un signe constant strict. Le tableau de variations de f permet d'en déduire directement le tableau de signes.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité