Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Dérivée seconde** : f''(x) = (f')'(x). • **Critère opérationnel fondamental** : f''(x) 0 f est convexe f''(x) 0 f est concave • **Méthode en 3 étapes** : 1. Calculer f'(x) puis f''(x). 2. Dresser le tableau de signe de f''(x). 3. Conclure sur les intervalles de convexité et de concavité.

Le cours

1. Dérivée seconde Soit f dérivable sur un intervalle I. Si sa dérivée f' est elle-même dérivable sur I, on dit que f est deux fois dérivable et on note f'' = (f')' sa dérivée seconde. Exemple : f(x) = x^4 - 2x donne f'(x) = 4x^3 - 2 puis f''(x) = 12x^2. 2. Théorème (admis) Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I : f convexe sur I f''(x) 0 pour tout x I et f est concave sur I si et seulement si f''(x) 0 pour tout x I. Justification : le signe de f'' donne le sens de variation de f', et f est convexe exactement quand f' est croissante. 3. Méthode et mini-exemple 1. Calculer f'(x), la simplifier, puis calculer f''(x). 2. Factoriser f''(x) (une exponentielle est toujours strictement positive) et dresser son tableau de signes. 3. Conclure : convexe là où f'' 0, concave là où f'' 0. Exemple : f(x) = e^-2x. f'(x) = -2e^-2x et f''(x) = 4e^-2x > 0 : f est convexe sur R, bien qu'elle soit décroissante. 4. Attention Le signe de f'' renseigne sur la courbure, pas sur le signe de f ni sur ses variations : f(x) = x^2 - 9 est convexe (f'' = 2 > 0) alors qu'elle est négative sur ]-3\,;\,3[.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et étude des variations de Première
• Nombre dérivé, équation de la tangente et taux de variation de Première
• Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première
• Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
• Convexité, concavité et points d'inflexion
• Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de la stricte monotonie
• Résolution approchée d'équations f(x) = k par encadrement et balayage
• Définition et caractérisation de la convexité d'une fonction dérivable
• Position relative de la courbe représentative et de ses tangentes
• Dérivée seconde et condition de convexité (f''(x) >= 0)
• Points d'inflexion : définition, détection et changement de concavité
• Optimisation et recherche d'extrema dans les modèles économiques et biologiques
• Modélisation de courbes de croissance et fonctions logistiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Modèles continus : Fonctions, dérivation et convexité