Dérivées des fonctions composées élémentaires et règles de dérivation de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Complémentaires

À retenir

• **Produit** : (u v)' = u' v + u v'. • **Quotient** : (u/v)' = u' v - u v'/v^2 là où v ne s'annule pas. • **Composée affine** : (g(ax + b))' = a\, g'(ax + b). • **Cas usuels** : (e^ax+b)' = a\,e^ax+b et ((ax+b)^n)' = n\,a\,(ax+b)^n-1.

Le cours

1. Règles opératoires (u et v dérivables sur I) • Somme : (u + v)' = u' + v' ; multiplication par un réel : (ku)' = k u'. • Produit : (uv)' = u'v + uv'. • Inverse (si v ne s'annule pas sur I) : (1/v)' = -v'/v^2. • Quotient (si v ne s'annule pas sur I) : (u/v)' = u'v - uv'/v^2. 2. Composée avec une fonction affine Le programme de Première étudie la fonction x g(ax + b), où g est dérivable. Sa dérivée s'obtient en multipliant par le coefficient a : (g(ax + b))' = a\, g'(ax + b) Conséquences : (e^ax+b)' = a\,e^ax+b ; ((ax+b)^n)' = n\,a\,(ax+b)^n-1 ; (ax+b)' = a2ax+b là où ax + b > 0. 3. Méthode et mini-exemple 1. Repérer la structure : somme, produit, quotient, ou fonction de référence appliquée à ax + b. 2. Écrire u, v (et u', v') avant d'appliquer la formule. 3. Factoriser le résultat (souvent par une exponentielle) pour pouvoir étudier son signe. Exemple : f(x) = 4x + 1 sur ]-1/4\,;\,+[. Avec a = 4 : f'(x) = 424x+1 = 24x+1. 4. Attention Le facteur a s'oublie facilement : (e^3x)' = 3e^3x et non e^3x ; (e^-x)' = -e^-x. Et la dérivée d'un produit n'est jamais le produit des dérivées : (uv)' u'v'.

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