Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

Étapes pour dresser le tableau de variations : 1. Déterminer l'ensemble de définition ou l'intervalle d'étude I. 2. Calculer la fonction dérivée f'(x). 3. Résoudre f'(x) = 0 et étudier le signe de f'(x). 4. Renseigner le tableau : ligne de x, ligne du signe de f'(x), ligne des variations de f. 5. Calculer et inscrire les images des extrema et des bornes de l'intervalle.

Le cours

1. Ce que contient un tableau de variations complet Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, le tableau comporte trois lignes : la ligne des x (bornes de I et valeurs où f' s'annule, rangées dans l'ordre croissant), la ligne du signe de f'(x) (avec les 0), et la ligne des variations de f (flèches et valeurs exactes de f aux bornes et aux extremums). 2. Modèle : f(x) = -x^3 + 3x sur [-2 ; 2] f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x - 1)(x + 1) : trinôme de coefficient -3 x-2-112 f'(x)-0+0- f2↘-2↗2↘-2 3. Commenter le tableau • Extremums locaux : minimum local -2 en x = -1, maximum local 2 en x = 1. • Extremums sur tout l'intervalle : on compare avec les bornes. Ici le maximum 2 est atteint en -2 et en 1, le minimum -2 en -1 et en 2 : pour tout x [-2 ; 2], -2 f(x) 2. • En situation concrète, on traduit : valeur optimale, instant ou quantité où elle est atteinte, plage de valeurs prises. 4. Attention Un maximum local n'est pas forcément le plus grand nombre du tableau : une borne de l'intervalle peut donner une valeur plus grande. Lisez toujours toute la dernière ligne avant de conclure.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie