Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Nombre dérivé : f'(a) = _h 0 f(a+h) - f(a)/h. • f'(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a. • Si la tangente est horizontale en a, alors f'(a) = 0.

Le cours

1. Définition du nombre dérivé Lorsque l'intervalle de temps ou d'espace h devient infiniment proche de 0 (h 0), le taux de variation se rapproche d'une valeur limite finie. Cette valeur limite est appelée le nombre dérivé de f en a et se note f'(a) : f'(a) = _h 0 f(a + h) - f(a)/h Interprétation géométrique fondamentale : f'(a) est exactement le coefficient directeur (la pente) de la droite tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. La tangente est la position limite des sécantes quand h 0 x y sécantes Tangente (pente = f'(a)) A a Exemple concret : Vitesse instantanée d'un robot d'assemblage L'outil d'un robot parcourt d(t) = t^2 mètres en t secondes. Entre t = 2 et t = 2 + h, sa vitesse moyenne vaut : (2 + h)^2 - 2^2/h = 4h + h^2/h = 4 + h Lorsque h tend vers 0, cette vitesse moyenne tend vers 4 : le nombre dérivé est d'(2) = 4. À l'instant précis t = 2 s, la vitesse instantanée de l'outil est donc de 4 m/s.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie