Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Si f'(x) > 0 pour tout x d'un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I. • Si f'(x) < 0 pour tout x de I, alors f est strictement décroissante sur I. • Si f'(x) = 0 pour tout x de I, alors f est constante sur I. • Méthode : tableau de signes de f'(x) d'abord, flèches de f ensuite.

Le cours

1. Le théorème fondamental de la dérivation C'est le résultat central de tout le programme d'analyse de 1ère Technologique : le signe de la dérivée f' détermine le sens de variation de la fonction f sur un intervalle I : f'(x) > 0 f est strictement croissante sur I (les flèches montent ). f'(x) f est strictement décroissante sur I (les flèches descendent ). f'(x) = 0 f est constante sur I (tangentes horizontales). Correspondance directe : Ligne de signe de f'(x) ➜ Ligne de variations de f(x) x -∞ 2 +∞ f'(x) - 0 + f(x) f(2) (min) Exemple concret : Pression dans une cuve de stockage La pression en bars dans une cuve chimique évolue selon P(t) = 0,5t^2 - 4t + 12 pour t [0 ; 10]. Dérivée : P'(t) = t - 4. • Pour t [0 ; 4[, t - 4 décroît. • En t = 4, P'(4) = 0, la pression atteint son minimum de P(4) = 4 bars. • Pour t ]4 ; 10], t - 4 > 0 P'(t) > 0, la pression croît.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie