Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Vitesse instantanée : v(t) = d'(t). • Coût marginal : C_m(q) C'(q). • Débit instantané : D(t) = V'(t). • Toute dérivée mesure une intensité de variation instantanée par unité de la variable d'entrée.

Le cours

1. La dérivée au cœur des technologies Dans toutes les filières technologiques (STI2D, STL, STMG, ST2S), la dérivée représente le taux de variation instantané d'une grandeur par rapport au temps ou par rapport à une quantité : Mécanique & STI2D • Vitesse instantanée : v(t) = d'(t) • Accélération : a(t) = v'(t) • Puissance : P(t) = E'(t) Chimie, Bio & STL/ST2S • Débit volumique : D(t) = V'(t) • Vitesse de réaction : v_réaction = d[C]/dt • Flux thermique : (t) = Q'(t) Gestion & Économie • Coût marginal : C_m(q) C'(q) (coût de fabrication d'une unité supplémentaire) • Recette marginale : R_m(q) = R'(q) Champs d'application technologiques de la dérivation Cinématique d(t) ➜ v(t) ➜ a(t) v(t) = d'(t) Hydraulique Volume ➜ Débit D(t) = V'(t) Production Coût total ➜ Marginal Cm(q) ≈ C'(q) Exemple concret : Coût marginal d'une chaîne de flaconnage pharmaceutique Le coût total en centaines d'euros de fabrication de q milliers de flacons est donné par C(q) = 0,02q^3 - 0,6q^2 + 10q + 50. Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total : C_m(q) = C'(q) = 0,06q^2 - 1,2q + 10 Pour une production de 20 milliers de flacons (q = 20) : C_m(20) = 0,06(400) - 1,2(20) + 10 = 24 - 24 + 10 = 10 Produire un millier de flacons supplémentaires coûtera environ 10 centaines d'euros, soit 1\,000\ € (environ 1\ € par flacon).

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie