Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• En un extremum local situé à l'intérieur de l'intervalle d'étude, f'(x_0) = 0 (tangente horizontale). • Si f' s'annule en x_0 en changeant de signe, f admet un extremum local en x_0 : maximum si f' passe de + à -, minimum si f' passe de - à +. • Si f'(x_0) = 0 sans changement de signe (exemple : x^3 en 0), il n'y a pas d'extremum.

Le cours

1. Caractérisation d'un extremum local Si une fonction dérivable sur un intervalle ouvert admet un extremum local (maximum ou minimum) en x_0, alors la tangente y est horizontale : f'(x_0) = 0. Mais cela ne suffit pas : on conclut à un extremum quand la dérivée s'annule en changeant de signe en x_0 : Maximum local en x_0 : • f'(x_0) = 0. • f'(x) passe du signe + (monte) au signe - (descend). • Sommet en dôme . Minimum local en x_0 : • f'(x_0) = 0. • f'(x) passe du signe - (descend) au signe + (monte). • Creux en cuvette . Les deux types d'extremums avec tangente horizontale f'(x_0) = 0 MAXIMUM (+ vers -) f'(x₀) = 0 MINIMUM (- vers +) f'(x₀) = 0 Exemple concret : Hauteur maximale d'un projectile La hauteur d'un projectile est h(t) = -5t^2 + 20t + 1,5 (en m, t en s). Sa dérivée h'(t) = -10t + 20 s'annule en t = 2 en passant du signe + (le projectile monte) au signe - (il redescend). La hauteur est donc maximale à t = 2 s et vaut h(2) = -20 + 40 + 1,5 = 21,5 m.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie