Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Équation incontournable : y = f'(a)(x - a) + f(a). • Pensez à distribuer f'(a) puis à regrouper les termes constants pour obtenir y = mx + p. • Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale et a simplement pour équation y = f(a).

Le cours

1. Formule de l'équation de la tangente Soit f une fonction dérivable en un point a. La tangente T_a à la courbe représentative C_f au point de coordonnées (a, f(a)) est la droite de coefficient directeur f'(a) passant par ce point. Son équation réduite est donnée par la formule : y = f'(a)(x - a) + f(a) Méthode en 3 étapes : 1. Calculer l'ordonnée du point de contact : f(a). 2. Calculer la pente : f'(a). 3. Remplacer dans la formule et développer pour obtenir la forme y = mx + p. Tangente T_a en A(a, f(a)) d'équation y = f'(a)(x - a) + f(a) x y Cf tangente a f(a) Exemple concret : Linéarisation de la réponse d'un capteur La courbe de sortie d'un capteur est modélisée par f(x) = x^2 - 2x + 3. Au point de repos a = 2, on a f(2) = 3 et f'(2) = 2. L'équation de la droite tangente modélisant le capteur en régime linéaire est : y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 2(x - 2) + 3 = 2x - 4 + 3 = 2x - 1 Au voisinage de x = 2, la droite y = 2x - 1 approche très bien la courbe : pour x = 2,1, f(2,1) = 3,21 et 2 2,1 - 1 = 3,2.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie