Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Pente d'une sécante : m = y_B - y_A/x_B - x_A. • Si m > 0, la droite monte ; si m < 0, la droite descend ; si m = 0, la droite est horizontale. • La dérivée sera la pente limite de cette sécante lorsque B se rapproche infiniment de A.

Le cours

1. Droites et coefficient directeur en Seconde La notion de dérivation est le prolongement direct du coefficient directeur d'une droite. Pour deux points distincts A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) d'une droite (avec x_A x_B), la pente (ou coefficient directeur) m mesure le taux de variation : m = y_B - y_A/x_B - x_A = y/ x Équation réduite : y = mx + p • m est la pente (taux d'accroissement constant). • p est l'ordonnée à l'origine (point (0, p)). Pente sécante sur une courbe : Si A(a, f(a)) et B(b, f(b)) sont sur la courbe de f : m_AB = f(b) - f(a)/b - a C'est le taux d'accroissement moyen de f entre a et b. Pente d'une droite sécante : rapport y/ x x y A B Δx = x_B - x_A Δy Exemple concret : Étalonnage d'un capteur de température La tension délivrée par une sonde thermique industrielle passe de 1,2 V à 20^C (A(20 ; 1,2)) à 3,6 V à 80^C (B(80 ; 3,6)). La sensibilité moyenne (pente de la droite) est : m = 3,6 - 1,280 - 20 = 2,460 = 0,04 V/^C Chaque degré supplémentaire génère en moyenne une hausse de tension de 0,04 V (soit 40 mV).

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie