Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Taux de variation : (h) = f(a+h) - f(a)/h. • Il mesure la pente de la sécante reliant (a, f(a)) à (a+h, f(a+h)). • En physique, il modélise une vitesse moyenne, un débit moyen ou un rendement moyen.

Le cours

1. Définition du taux de variation Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a I. Pour tout accroissement non nul h tel que a + h I, le taux de variation (ou taux d'accroissement) de f entre a et a+h est défini par : (h) = f(a + h) - f(a)/h Interprétation physique : Si f(t) représente la distance parcourue par un véhicule en fonction du temps t, le taux de variation f(a+h) - f(a)/h représente exactement la vitesse moyenne du véhicule sur l'intervalle de temps [a ; a+h]. Taux de variation moyen : sécante entre a et a + h t d(t) h = Δt f(a+h) - f(a) a a + h Exemple concret : Vitesse moyenne d'une rame de métro au démarrage La distance parcourue en mètres par une rame de métro automatique est donnée par d(t) = 0,8t^2 pendant les 10 premières secondes. Calculons sa vitesse moyenne entre t = 2 s et t = 5 s (h = 3 s) : d(2) = 0,8 2^2 = 3,2 m ; d(5) = 0,8 5^2 = 20 m v_moy = d(5) - d(2)/5 - 2 = 20 - 3,23 = 16,83 = 5,6 m/s La rame a circulé à une vitesse moyenne de 5,6 m/s (soit 20,16 km/h) sur cet intervalle.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie