Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Dérivée de ax^2 + bx + c est 2ax + b. • Dérivée de ax^3 + bx^2 + cx + d est 3ax^2 + 2bx + c. • Chaque dérivation abaisse le degré du polynôme exactement de 1.

Le cours

1. Dérivées des polynômes de degré 2 et 3 En 1ère Technologique, les fonctions étudiées sont presque exclusivement des polynômes de degré 2 et de degré 3. Leur dérivation obéit à une règle directe : Polynôme de degré 2 (trinôme) : f(x) = ax^2 + bx + c f'(x) = 2ax + b La dérivée est une fonction affine (degré 1). Polynôme de degré 3 : g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d g'(x) = 3ax^2 + 2bx + c La dérivée est un polynôme du second degré ! Baisse du degré lors de la dérivation Degré 3 ax³ + bx² + cx + d dériver Degré 2 3ax² + 2bx + c dériver Degré 1 6ax + 2b Exemple concret : Profil de vitesse d'une broche d'usinage CNC L'angle de rotation d'une broche en radians est donné par (t) = -t^3 + 6t^2 + 15t. Sa vitesse de rotation instantanée (t) = '(t) s'obtient en dérivant : (t) = -3t^2 + 12t + 15 rad/s Comme est un trinôme de coefficient -3 < 0, la vitesse de rotation est maximale au sommet, en t = -12/2 (-3) = 2 s : (2) = -12 + 24 + 15 = 27 rad/s.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie