Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence

1ère Technologique · Mathématiques 1ère Techno

À retenir

• Dérivée d'une constante : (k)' = 0 ; d'une fonction affine : (mx + p)' = m. • (x^2)' = 2x et (x^3)' = 3x^2, valables pour tout réel x. • f'(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a : (x^2)' en 3 vaut 6.

Le cours

1. Tableau des fonctions dérivées usuelles Pour éviter de recalculer la limite du taux de variation à chaque point, on associe à la fonction f sa fonction dérivée notée f', qui donne la pente de la tangente pour tout réel x du domaine de validité : Fonction f(x) Dérivée f'(x) Domaine de validité k (constante)0R x1R mx + pmR x^22xR x^33x^2R Correspondances visuelles des dérivées de référence 2x --> f(x) = x² f'(x) = 2x 3x^2 --> f(x) = x³ f'(x) = 3x² m --> f(x) = mx + p f'(x) = m Exemple concret : Volume d'une pièce cubique usinée Le volume d'un cube d'arête a (en mm) vaut V(a) = a^3 (en mm^3). Sa dérivée est : V'(a) = 3a^2 Pour a = 10 mm, V'(10) = 300 : une petite erreur d'usinage sur l'arête modifie le volume d'environ 300\ mm^3 par millimètre. Contrôle : V(11) - V(10) = 1\,331 - 1\,000 = 331, du même ordre de grandeur.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines, coefficient directeur d'une droite et sécantes de Seconde
• Tableaux de signes et lecture graphique de pentes de Seconde
• Signe d'une fonction affine ax + b et lecture graphique de variations de Seconde
• Taux de variation moyen et notion intuitive de vitesse moyenne
• Nombre dérivé en un point comme limite et pente de la tangente
• Équation de la tangente à une courbe : y = f'(a)(x - a) + f(a)
• Fonction dérivée : dérivées usuelles des fonctions de référence
• Règles de dérivation : somme u + v et produit par une constante k · u
• Dérivation méthodique des polynômes de degré 2 et 3
• Lien fondamental entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction
• Extremum local d'une fonction et condition f'(x) = 0
• Applications concrètes : vitesse instantanée, coût marginal et débit en technologie
• Dresser et commenter le tableau de variations complet d'une fonction dérivable
• Bilan : Synthèse et méthode sur Dérivation & Variations de fonctions en technologie